Momenti d'inerzia - Matrice

[Guru]

Due domande:

1)
In qualche testo trovo i momenti principali d'inerzia di una figura
piana scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (a*b^3)/12
In altri scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (b^2)/12

Noto che tra i 2 la differenza è l'area A = a*b, ma non comprendo da
dove derivi questa differenza.


2)
Per trovare la matrice d'inerzia, per un punto che non è il baricentro,
è indifferente calcolare la diade, la distanza, ecc e fare
JO = JG + m * |OG|^2 * I - [OGxOG]
oppure fare gli integrali doppi A, B, C, A', B', C'?
Sempre su una figura piana.

[MaT3ka0rA]

"Guru" ha scritto nel messaggio

Post by Guru
1)
In qualche testo trovo i momenti principali d'inerzia di una figura
piana scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (a*b^3)/12
In altri scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (b^2)/12
Noto che tra i 2 la differenza è l'area A = a*b, ma non comprendo da
dove derivi questa differenza.

Dalle memorie di Scienza della costruzione e Meccanica applicata è la prima
foruma ad essere corretta. La seconda sembra indicare solo il raggio
giratore (o di girazione non ricordo).
Comunque il momento d'inerzia di figura è in m^4.



Saluti

[Guru]

Post by MaT3ka0rA
Dalle memorie di Scienza della costruzione e Meccanica applicata è la prima
foruma ad essere corretta. La seconda sembra indicare solo il raggio
giratore (o di girazione non ricordo).

Il raggio giratore però è una misura di lunghezza, quindi la seconda
formula dovrebbe essere il quadrato del RG.
Con il raggio giratore indicato come rg
rg = (I/A)^0,5
ovvero è la radice del rapporto fra I e l'area...

Post by MaT3ka0rA
Comunque il momento d'inerzia di figura è in m^4.

Si, vero, però il tensore d'inerzia è composto da termini al quadrato...

[Xisy]

Post by Guru
1)
In qualche testo trovo i momenti principali d'inerzia di una figura
piana scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (a*b^3)/12
In altri scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (b^2)/12
Noto che tra i 2 la differenza è l'area A = a*b, ma non comprendo da
dove derivi questa differenza.

Non ho provato a ricalcolarli, ma due osservazioni al volo.

Per la prima, noto un diversa dipendenza da a (lineare) e da b (cubica).
Certo a e b, essendo i due lati, sono completamente equivalenti e
intercambiabili. Voglio dire, è arbitrario cosa decido di chiamare a e
cosa decido di chiamare b. Ciò è probabilmente perché Ix è una componente
parallela a uno dei due lati (non ho capito quale, penso b).
Quindi, se la prima espressione è vera, analogamente avrai l'altra
componente Iy scambiando a con b.

La seconda espressione è sospetta, perché sembra dipendere solo da b
qualunque sia a. Sei sicuro che le due espressioni per Ix si riferiscano
alla stessa grandezza?

Post by Guru
2)
Per trovare la matrice d'inerzia, per un punto che non è il baricentro,
è indifferente calcolare la diade, la distanza, ecc e fare
JO = JG + m * |OG|^2 * I - [OGxOG]
oppure fare gli integrali doppi A, B, C, A', B', C'?
Sempre su una figura piana.

Il metodo degli integrali doppi è utile... perché così impari a fare gli
integrali doppi:)
Cioè non sempre avrai espressioni di cui esiste la formuletta esatta da
manuale, è una questione di metodo.
Cmq, certo, quando puoi applica e scorciatoie, non sbagli.

[Roberto C.]

Post by Guru
1)
In qualche testo trovo i momenti principali d'inerzia di una figura
piana scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (a*b^3)/12
In altri scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (b^2)/12

è giusta la 1 con asse di simmetria parallelo ad a e coincidente con un
asse di simmetria del rettangolo, infatti I=2*IntX dx(0..a)IntY
y^2dy(0..b/2) =2*a*((b/2)^3)/3=(a*b^3)/12

[eduardo.ligotti]

Post by Roberto C.

Post by Guru
1)
In qualche testo trovo i momenti principali d'inerzia di una figura
piana scritti come (rettangolo di lati a,b) Ix = (a*b^3)/12

' questa la formula del momento d'inerzia per sezione rettangolare dove b
andrebbe scritto come h ( la formula corretta è Mi=Ix= 1/12*b*h^3
intendendo x come ascissa in un piano cartesiano, invece per l'ordinata y è
Miy=Iy=1/12*h*b^3 ovvero : un dodicesimo della base per l'altezza al cubo
(intendendo per l'altezza l'asse di riferimento del sistema)

Post by Roberto C.

Post by Guru
In altri scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (b^2)/12

è giusta la 1 con asse di simmetria parallelo ad a e coincidente con un
asse di simmetria del rettangolo, infatti I=2*IntX dx(0..a)IntY
y^2dy(0..b/2) =2*a*((b/2)^3)/3=(a*b^3)/12

dai miei studi universitari dovrebbe essere il giratore

[Guru]

Post by Roberto C.

Post by Guru
1)
In qualche testo trovo i momenti principali d'inerzia di una figura
piana scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (a*b^3)/12
In altri scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (b^2)/12

è giusta la 1 con asse di simmetria parallelo ad a e coincidente con un
asse di simmetria del rettangolo, infatti I=2*IntX dx(0..a)IntY
y^2dy(0..b/2) =2*a*((b/2)^3)/3=(a*b^3)/12

Non mi spiago allora come mai i termini del tensore d'inerzia vengono
chiamati "momenti". In fatto il tensore d'inerzia J calcolato rispetto
al baricentro su una terna solidale è una matroce diagonale con sulla
diagonale princilale i momenti principali d'inerzia....

Forse son io che ho grosse lacune, ma 'sta cosa mi fa sbarellare, non ne
trovo il bandolo....

[Roberto C.]

Post by Guru

Post by Roberto C.

Post by Guru
1)
In qualche testo trovo i momenti principali d'inerzia di una figura
piana scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (a*b^3)/12
In altri scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (b^2)/12

è giusta la 1 con asse di simmetria parallelo ad a e coincidente con un
asse di simmetria del rettangolo, infatti I=2*IntX dx(0..a)IntY
y^2dy(0..b/2) =2*a*((b/2)^3)/3=(a*b^3)/12

Non mi spiago allora come mai i termini del tensore d'inerzia vengono
chiamati "momenti".

Cosa ti devi spiegare? E' una definizione; il tensore di inerzia è una
matrice reale simmetrica di momenti di inerzia

http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia

Post by Guru
Forse son io che ho grosse lacune, ma 'sta cosa mi fa sbarellare, non ne
trovo il bandolo....

Ripassa che non è molto complicato :-)

[Guru]

Post by Roberto C.

Post by Guru

Post by Roberto C.

Post by Guru
(rettangolo di lati a,b) Ix = (a*b^3)/12
In altri scritti come
(rettangolo di lati a,b) Ix = (b^2)/12

è giusta la 1 con asse di simmetria parallelo ad a e coincidente con un
asse di simmetria del rettangolo, infatti I=2*IntX dx(0..a)IntY
y^2dy(0..b/2) =2*a*((b/2)^3)/3=(a*b^3)/12

Non mi spiago allora come mai i termini del tensore d'inerzia vengono
chiamati "momenti".

Cosa ti devi spiegare? E' una definizione; il tensore di inerzia è una
matrice reale simmetrica di momenti di inerzia
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia

Si, ok, fino a qui ci sono, ho capito, ma il mio problema è la formula
che devo usare per calcolare gli elementi della matrice. Nel caso piano
che descrivevo alcuni mi indicano una formula altri un'altra e le
chiamano allo stesso modo. Momenti d'inerzia.

(dove vengono spiegate le matrici vengono genericamente indicati momenti
principali d'inerzia, non ho trovato esempi di calcolo di una matrice
per una figura piana)

Post by Roberto C.

Post by Guru
Forse son io che ho grosse lacune, ma 'sta cosa mi fa sbarellare, non ne
trovo il bandolo....

Ripassa che non è molto complicato :-)

Con 'sto caldo diventa tutto complicato! :-D